有限数学示例

$35 = \frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$ 。

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

解题步骤 2

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 2.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ 并且它们的和为 $b = - 5$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $- 5$ 。

$\frac{2 x^{2} - 5 (x) + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

解题步骤 2.1.1.2

把 $- 5$ 重写为 $- 1$ 加 $- 4$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

解题步骤 2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

解题步骤 2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

解题步骤 2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1)}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

解题步骤 2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

解题步骤 2.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x^{2} + 8 x + 4^{2}} = 35$

解题步骤 2.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

解题步骤 2.2.3

重写多项式。

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}} = 35$

解题步骤 2.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} = 35$

解题步骤 3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

${(x + 4)}^{2}, 1$

解题步骤 3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

${(x + 4)}^{2}$

解题步骤 4

将 $\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} = 35$ 中的每一项乘以 ${(x + 4)}^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} = 35$ 中的每一项乘以 ${(x + 4)}^{2}$ 。

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} {(x + 4)}^{2} = 35 {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 ${(x + 4)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} {(x + 4)}^{2} = 35 {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 4.2.1.2

重写表达式。

$(2 x - 1) (x - 2) = 35 {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 4.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 1) (x - 2)$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

运用分配律。

$2 x (x - 2) - 1 (x - 2) = 35 {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 4.2.2.2

运用分配律。

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 (x - 2) = 35 {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 4.2.2.3

运用分配律。

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 4.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 4.2.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 4.2.3.1.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 4.2.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$2 x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 4.2.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 x^{2} - 4 x - x + 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 4.2.3.2

从 $- 4 x$ 中减去 $x$ 。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 5

求解方程。

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解题步骤 5.1

化简 $35 {(x + 4)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.1

重写。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0 + 0 + 35 {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 5.1.2

将 ${(x + 4)}^{2}$ 重写为 $(x + 4) (x + 4)$ 。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 ((x + 4) (x + 4))$

解题步骤 5.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + 4) (x + 4)$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

运用分配律。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x (x + 4) + 4 (x + 4))$

解题步骤 5.1.3.2

运用分配律。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4))$

解题步骤 5.1.3.3

运用分配律。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)$

解题步骤 5.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)$

解题步骤 5.1.4.1.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4)$

解题步骤 5.1.4.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16)$

解题步骤 5.1.4.2

将 $4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x^{2} + 8 x + 16)$

解题步骤 5.1.5

运用分配律。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 x^{2} + 35 (8 x) + 35 \cdot 16$

解题步骤 5.1.6

化简。

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解题步骤 5.1.6.1

将 $8$ 乘以 $35$ 。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 x^{2} + 280 x + 35 \cdot 16$

解题步骤 5.1.6.2

将 $35$ 乘以 $16$ 。

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 x^{2} + 280 x + 560$

解题步骤 5.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $35 x^{2}$ 。

$2 x^{2} - 5 x + 2 - 35 x^{2} = 280 x + 560$

解题步骤 5.2.2

从等式两边同时减去 $280 x$ 。

$2 x^{2} - 5 x + 2 - 35 x^{2} - 280 x = 560$

解题步骤 5.2.3

从 $2 x^{2}$ 中减去 $35 x^{2}$ 。

$- 33 x^{2} - 5 x + 2 - 280 x = 560$

解题步骤 5.2.4

从 $- 5 x$ 中减去 $280 x$ 。

$- 33 x^{2} - 285 x + 2 = 560$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $560$ 。

$- 33 x^{2} - 285 x + 2 - 560 = 0$

解题步骤 5.4

从 $2$ 中减去 $560$ 。

$- 33 x^{2} - 285 x - 558 = 0$

解题步骤 5.5

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.5.1

从 $- 33 x^{2} - 285 x - 558$ 中分解出因数 $- 3$ 。

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解题步骤 5.5.1.1

从 $- 33 x^{2}$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$- 3 (11 x^{2}) - 285 x - 558 = 0$

解题步骤 5.5.1.2

从 $- 285 x$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$- 3 (11 x^{2}) - 3 (95 x) - 558 = 0$

解题步骤 5.5.1.3

从 $- 558$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$- 3 (11 x^{2}) - 3 (95 x) - 3 \cdot 186 = 0$

解题步骤 5.5.1.4

从 $- 3 (11 x^{2}) - 3 (95 x)$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$- 3 (11 x^{2} + 95 x) - 3 \cdot 186 = 0$

解题步骤 5.5.1.5

从 $- 3 (11 x^{2} + 95 x) - 3 (186)$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$- 3 (11 x^{2} + 95 x + 186) = 0$

解题步骤 5.5.2

因数。

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解题步骤 5.5.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 5.5.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 11 \cdot 186 = 2046$ 并且它们的和为 $b = 95$ 。

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解题步骤 5.5.2.1.1.1

从 $95 x$ 中分解出因数 $95$ 。

$- 3 (11 x^{2} + 95 (x) + 186) = 0$

解题步骤 5.5.2.1.1.2

把 $95$ 重写为 $33$ 加 $62$

$- 3 (11 x^{2} + (33 + 62) x + 186) = 0$

解题步骤 5.5.2.1.1.3

运用分配律。

$- 3 (11 x^{2} + 33 x + 62 x + 186) = 0$

解题步骤 5.5.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- 3 ((11 x^{2} + 33 x) + 62 x + 186) = 0$

解题步骤 5.5.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$- 3 (11 x (x + 3) + 62 (x + 3)) = 0$

解题步骤 5.5.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $x + 3$ 来因式分解多项式。

$- 3 ((x + 3) (11 x + 62)) = 0$

解题步骤 5.5.2.2

去掉多余的括号。

$- 3 (x + 3) (11 x + 62) = 0$

解题步骤 5.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

$11 x + 62 = 0$

解题步骤 5.7

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.7.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 5.7.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 5.8

将 $11 x + 62$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.8.1

将 $11 x + 62$ 设为等于 $0$ 。

$11 x + 62 = 0$

解题步骤 5.8.2

求解 $x$ 的 $11 x + 62 = 0$ 。

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解题步骤 5.8.2.1

从等式两边同时减去 $62$ 。

$11 x = - 62$

解题步骤 5.8.2.2

将 $11 x = - 62$ 中的每一项除以 $11$ 并化简。

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解题步骤 5.8.2.2.1

将 $11 x = - 62$ 中的每一项都除以 $11$ 。

$\frac{11 x}{11} = \frac{- 62}{11}$

解题步骤 5.8.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.8.2.2.2.1

约去 $11$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{11 x}{11} = \frac{- 62}{11}$

解题步骤 5.8.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 62}{11}$

解题步骤 5.8.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.8.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{62}{11}$

解题步骤 5.9

最终解为使 $- 3 (x + 3) (11 x + 62) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 3, - \frac{62}{11}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - 3, - \frac{62}{11}$

小数形式：

$x = - 3, - 5.\overline{63}$

带分数形式：

$x = - 3, - 5 \frac{7}{11}$

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